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Lo que tenéis a continuación es una traducción de una parte del libro de Bill Chen y Jerrod Ankenman Mathematics of Poker (pgs. 76-80).

Es un capítulo dedicado a estudiar casos con cartas descubiertas, dentro de la sección sobre el juego explotador.

A mí su lectura me resultó muy provechosa, tanto para jugar proyectos como contra ellos. Sin embargo, las conclusiones que un jugador puede sacar pueden llegar a ser perjudiciales si, dicho con palabras brutas (como, por otro lado, a veces se lo explicó yo a personas que empiezan y me preguntan cómo jugar un proyecto), concluimos que manos de proyecto prefieren sin más ir all-in en el flor por tener una equity centralizada (es decir, que trataremos de abusar de la equity de nuestro proyecto apoyándonos en la probabilidad de que abusemos del rival haciéndole tirar cualquier mano hecha vez tras otra).

Es cierto si el proyecto es tan monstruoso que cualquier apuesta no es en realidad de semi-farol sino por valor, porque su equity es mayor que la del rival y carecemos de steal equity en el turn si no completamos y el rival nos puede poner fuera de odds. Es cierto si nuestro all-in es rentable por compensar su showdown equity menor (en caso de proyectos a entre 9 y 15 outs) con folding equity.

No es cierto si el rival concede muchas implícitas: entonces sencillamente preferimos que la mayor cantidad posible de dinero vaya al bote cuando hemos completado. Tampoco es cierto si el rival no concede folding equity.

Bueno, no me voy a alargar en la introducción al texto. Os lo dejo y la semana que viene trataré de hacer dos posts tratando dos cuestiones al respecto. Cuando las cartas no están expuestas: rangos e implícitas.

Ejemplo 7.2

Ahora analicemos un ejemplo diferente con stacks limitados. En este caso permitimos al stack inicial variar para examinar el efecto del mismo en el juego.

El juego es PLHE, pero con la regla especial de que sólo se pueden hacer apuestas del tamaño del bote (o apuestas all-in se el jugador tiene menos que el tamaño del bote). Llamamos a esto juego rígido de Pot Limit; es sustancialmente más simple que un juego normal de Pot Limit.

El jugador X tiene: Ah Ad

El jugador Y tiene: 8c 7c

El flop es: 9c 6c 2d

(Ignoraremos la posibilidad del full house runner runner para AA y las dobles parejas runner runner para 87s a efectos de la discusión. Asumiremos que en cada calle 87 tiene simplemente 15 outs y liga o no liga.)

Podemos calcular inmediatamente la equity de Y si sencillamente se sacaran las dos cartas:

<Y> = 1 – p(de fallar dos veces)

<Y> = 1- (30/45)*(29/45)

<Y> = 56.06%

El bote contiene 100$. El jugador X es el primero en hablar. ¿Cómo debería cambiar el juego en función de los stacks?

Caso 1: Stacks pequeños

Asumamos primero que los stacks son de 50$. En esta situación, el jugador Y es el favorita si las cartas se repartieran, al tener el 56.06% de equito con su proyecto de escalera-color. Si el jugador X apuesta, entonces el jugador Y hará call, dándose una EV de:

<X, X apuesta – Y paga> = p(X gana)*(nuevo valor del bote) – (coste de la apuesta)

<X, X apuesta – Y paga> = [1-p(Y gana)]*(nuevo valor del bote) – (coste de la apuesta)

<X, X apuesta – Y paga> = [1 - 0.5606](200$) – 50$

<X, X apuesta – Y paga> = (0.4394)*(200$) – 50$

<X, X apuesta – Y paga> = 37.88$

Esta es la equity yendo todo el dinero al pot en el flop, sin importar quién apuesta primero. Está claro que si el jugador X pasa, entonces el jugador Y puede garantizar que la equity de X no sea mayor que este número simplemente apostando. X tendrá odds para pagar y se llegará a la misma equity.

Si el juego se desarrollara check-check en el flop e Y fallara al ligar su escalera o color (30/45 de las veces) X podría entonces apostar el turn. En este caso, X tendría 29/44 de probabilidad de ganar. Y todavía debe hacer call claramente, al tener unas odds del bote de más de 3 a 1. La equity de X entonces es:

<X, apuesta en turn> = [p(Y falla el flor)]*[p(X gana)*(nuevo valor del bote) – (coste de la apuesta)]

<X, apuesta en turn> = (30/45)*[(29/44)*(200) – (50)]

<X, apuesta en turn> = 54.55$

Este valor esperado es mayor para X que el valor esperado cuando los dos jugadores iban all-in en el flop. Si la secuencia hubiera sido check-check en el flor e Y hubiera completado su mano en el turn, X sencillamente habría foldeado. Así que X preferiría que la acción fuera check-check en el flop.

De todas maneras, Y también sabe esto. Como Y puede limitar la equity de X a 37.88$ apostando, la secuencia debería ser check-bet-call en el flor. Date cuenta de que la equity en el bote del jugador X está basado en el valor al showdown de su mano actualmente (100$)*(1 – 0.5606) = 43.94%, por lo que la apuesta después del flor reduce su equity en más de 6$.

Caso 2: Stacks medios

Asumamos ahora que los stacks son de 400$. De nuevo, el jugador Y tiene un margen pequeño si todo el dinero va al bote en el flor con un 56.06%.

Si X apuesta, entonces Y tiene tres opciones: retirarse, subir all-in a 400$ o pagar 100$. Si se retirara la equity de X sería 100$.

<X, apuesta; Y, Fol.> = 100$

Si sube all-in, entonces la equity de X es:

<X, apuesta; Y sube> = p(X gana)*(nuevo valor del bote) – (coste de la apuesta)

<X, apuesta; Y sube> = [1 – p(Y gana)]*(nuevo valor del bote) – (coste de la apuesta)

<X, apuesta; Y sube> = (1 – 0.5606)*(900$) – 400$ = - 4.55$

<X, apuesta; Y sube> = -4.55$

Si Y paga, entonces dos cosas pueden pasar:

15/45 de las veces Y liga y X pierde 100$

<X, apuesta; Y apuesta | Y liga> = -100$

30/45 de las veces Y falla y el juego se simplifica a un juego de odds:

<X, apuesta; Y apuesta | Y falla> =p (X gana)*(nuevo valor del bote) – (coste de la apuesta)

<X, apuesta; Y apuesta | Y falla> = (29/44)*(900$) – 400$

<X, apuesta; Y apuesta | Y falla> = 193.18$

En este punto X apuesta 300$ e Y se ve forzado a pagar con 15/44 de equity sobre el bote. La EV de X en este caso sería

<X> = [p(X gana)]*(cantidad que X gana) – [p(Y gana)]*(cantidad que X pierde)

<X> = (29/44)*(500$) – (15/44)*(400$)

<X> = 193.18$

Por lo que la equity general de X será:

<X, apuesta; Y paga> = (15/45)*(-100$) +30/45(193.18$)

<X, apuesta; Y paga> = 95.45$

Hemos calculado estas EVs en términos de X; en la medida que es un juego entre dos jugadores y ninguno de los dos puede reclamar una parte del bote, Y puede tratar de maximizar su propia expectativa o minimizar la de X y esto afectaría de la misma manera. Por lo que está claro que si X apuesta 100$, Y debería ir all-in en la medida que es la mejor de sus tres opciones.

Alternativamente, X podría hacer check. Si X hace check, entonces Y puedes hacer check o apostar.

Si Y hace check, entonces de nuevo tenemos dos posibilidades. 15/45 de las veces Y completa e Y gana 0$. 30/45 de las veces, Y falla, y X apuesta el bote y es pagado.

La EV general de X, entonces, es:

<X pasa; Y pasa> = [p(Y gana)(valor del bote para X)]+[p(X gana)(valor del bote para X – coste de la apuesta)]

<X pasa; Y pasa> = (15/45)(0$) + (30/45)[(29/44)(300$ - 100$)]

<X pasa; Y pasa> = 65.15$

Alternativamente, Y puede apostar. Si X sube all-in, tendrá de nuevo -4.55$, mientras que si paga, de nuevo gana 95.45$

[En el libro se introduce una tabla resumiendo los resultados en función de la EV de X. Disculpad que no sepa insertar tablas para reflejar la del libro, pero no dice nada que no se haya dicho]

Dada esta mesa, podemos ver que si X pasa, lo peor que le puede suceder es tener una EV de +65.15$ (cuando Y hace cierra en paso). Por lo que con este stack efectivo (400$), la acción debería de hecho acabar check-check en el flop. Ninguno de los dos puede apostar; si X apuesta, Y simplemente sube all-in y hace valer su ventaja sobre el bote, mientras que si Y apuesta, X paga y mete la mayoría del dinero en el turn cuando tiene una ventaja significativa. Date cuenta también de que al haber crecido los stacks, X ha ganado en consecuencia de la apuesta. En el caso del stack pequeño, X de hecho perdía dinero como resultado de la apuesta (contra su showdown equity en el bote inicial). Pero aquí, X gana 65.15$ - 43.94$, o 21.19$ dado el curso post-flop de la apuesta.

Caso 3: stacks grandes

El último caso de este tipo de pot-limit que consideraremos es el de stacks de 1.300$, igual a tres subidas del tamaño del bote. Esta vez, dividiremos los cálculos de EV en cuatro subcasos:

Subcaso a) No va dinero al bote en el flop

En la medida que ningún jugador va a subir el turn, la equity de X en este subcaso es la misma que en el precedente, en el que ningún dinero iba al bote en el flop, o 65.15$.

Subcaso b) Una apuesta del tamaño del bote (100$) tiene lugar en el flop

Este subcaso, también, es similar al precedente en el que la equity de X es 95.45$.

Subcaso c) Dos apuestas del tamaño del bote (400$) tienen lugar en el flop

En este subcaso, la equity de X es -400$ en el caso de que Y complete en el turn. Cuando Y falla, X apuesta 900$ e Y paga. 29/44 de las veces, X gana el bote y el resto de las veces lo hace Y.

<X, 2apuestasenelflop> = (15/45)(-400$) + (30/45) [(2700$)(29/44) – 1300$)]

<X, 2apuestasenelflop> = 346.21$

Subcaso d) Tres apuestas del tamaño del bote (1300$) tienen lugar en el flop

En este subcaso, X sencillamente obtiene su showdown equity del bote:

<X, 3 apuestasenelflop> = (1 – 0.5606)(2700$) – 1300$

<X, 3 apuestasenelflop> = (0.4394)(2700$) – 1300$

<X, 3 apuestasenelflop> = -113.62$

Podemos formular algunas reglas lógicas para los jugadores basadas en estas equitys:

1) X nunca pondrá una segunda apuesta en el flop

Si lo hace, Y subirá all-in, dándose el subcaso d), el peor resultado para X.

2) Y nunca pondrá la segunda apuesta en el flop

Si lo hace, X pagará y se dará el subcaso c), el peor resultado para Y.

3) X prefiere el subcaso b) al subcaso a) –

Si puede elegir entre cero y una apuesta, elegirá una.

4) Y prefiere el subcaso a) al subcaso b) –

Si puede elegir entre una y cero apuestas, elegirá cero.

Dadas estas reglas, podemos obtener las estrategias para X e Y. Ningún jugador pondrá la segunda apuesta. Por lo tanto, ambos jugadores tienen la opción de poner la primera si lo desean. Como X prefiere que así sea, apostará e Y pagará. Esto resulta en una EV para X de 95.45$. Merece la pena mencionar que la EV de la apuesta si retira al rival es sólo 100$. En este caso X gana mucho valor gracias al resto de la apuesta post-lfop – de hecho, el valor de su mano se ha prácticamente doblado de 43.94 a 95.45$.

Cuando una mano hecha compita con un buen proyecto, el proyecto generalmente hace mejor poniendo todo el dinero en el bote tan pronto como sea posible, cuando quedan dos cartas por salir. La mano hecha, por el contrario, sólo quiere que haya acción como para que le queden aún apuestas para castigar el proyecto cuando falla en la siguiente calle. En este caso, donde sólo faltaban dos apuestas, si la mano hecha apuesta, el proyecto podía ir all-in. Es preferible para la mano hecha retrasar la apeusta para extraer valor en el turn cuando el proyecto no se complete. Pero cuando faltan tres apuestas, la mano puede hacer una apuesta en el flor, sabiendo que el proyecto no puede prevenirse contra el que le hagan una apuesta del tamaño del bote en el turn. […]